Autovalores e Autovetores

Autovalores respondem a uma pergunta específica: existem direções que a transformação apenas estica ou encolhe, sem girar? Essas direções revelam a estrutura essencial da matriz e são a base do PCA, do PageRank e da análise de estabilidade.

Definição

Um vetor não nulo $v$ é autovetor de $A$ com autovalor $\lambda$ quando

$$Av = \lambda v$$

Aplicar $A$ a $v$ não muda sua direção, só sua escala.

Da equação segue $(A - \lambda I)v = 0$ com $v \ne 0$, o que exige $A - \lambda I$ singular:

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

Esse é o polinômio característico, de grau $n$. Sobre os complexos ele tem exatamente $n$ raízes contando multiplicidade — mas uma matriz real pode ter autovalores complexos, como toda matriz de rotação.

Fatos essenciais

$$\sum_i \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod_i \lambda_i = \det(A)$$

São duas verificações baratas e muito úteis para conferir um cálculo.

Outros fatos que vale ter na ponta da língua:

• Matriz triangular: os autovalores são a diagonal.
• Matriz simétrica real: autovalores reais, autovetores ortogonais.
• Matriz ortogonal: autovalores de módulo 1.
• $A^k$ tem autovalores $\lambda_i^k$, com os mesmos autovetores.
• $A$ é singular se e somente se $0$ é autovalor.

Diagonalização

Se $A$ tem $n$ autovetores linearmente independentes, então

$$A = PDP^{-1}$$

com $P$ a matriz dos autovetores em colunas e $D$ diagonal com os autovalores.

O ganho é computacional e conceitual:

$$A^k = PD^kP^{-1}$$

Elevar uma matriz diagonal à potência $k$ é elevar cada entrada. Isso transforma um cálculo caro num trivial, e é o que permite analisar o comportamento de longo prazo de sistemas iterativos: o autovalor de maior módulo domina.

Nem toda matriz é diagonalizável. Matrizes defeituosas — como $\begin{pmatrix}1&1\0&1\end{pmatrix}$, que tem autovalor $1$ com multiplicidade 2 mas só um autovetor independente — exigem a forma de Jordan.

Teorema espectral

Para $A$ simétrica real:

$$A = Q\Lambda Q^T$$

com $Q$ ortogonal e $\Lambda$ diagonal real.

Este é o resultado mais útil da área. Ele garante que matrizes simétricas são sempre diagonalizáveis, com base ortonormal de autovetores e autovalores reais. Como $Q^{-1} = Q^T$, não há inversão a calcular e o cálculo é numericamente estável.

Matrizes simétricas aparecem em toda parte — matrizes de covariância, hessianas, laplacianos de grafos, matrizes de Gram — e é o teorema espectral que torna esses objetos tratáveis.

Uma matriz simétrica é definida positiva exatamente quando todos os autovalores são positivos.

Cálculo na prática

Não use o polinômio característico. Os métodos reais:

Método da potência. Itera $v_{k+1} = Av_k / |Av_k|$ e converge para o autovetor dominante. Simples, e é a ideia por trás do PageRank.

Iteração QR. Fatora repetidamente $A_k = Q_kR_k$ e faz $A_{k+1} = R_kQ_k$. Converge para forma triangular com os autovalores na diagonal. É o algoritmo padrão.

Lanczos e Arnoldi. Para matrizes esparsas grandes quando se quer apenas alguns autovalores.

import numpy as np
vals, vecs = np.linalg.eigh(A)   # simétrica: mais rápido e estável
vals, vecs = np.linalg.eig(A)    # geral: pode devolver complexos

Use eigh sempre que a matriz for simétrica — a diferença de desempenho e de estabilidade é significativa.

Exemplo trabalhado

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

$$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$$

Autovalores $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$. Conferindo: a soma é $4 = \operatorname{tr}(A)$ e o produto é $3 = \det(A)$.

Para $\lambda = 3$: $(A - 3I)v = 0$ dá $-v_1 + v_2 = 0$, logo $v = (1,1)$. Para $\lambda = 1$: $v = (1,-1)$.

Os autovetores são ortogonais, como o teorema espectral prevê para matriz simétrica.

Aplicações em computação

PCA. Os autovetores da matriz de covariância são as direções principais, e os autovalores medem a variância em cada direção. Manter os maiores é reduzir dimensionalidade preservando o máximo de informação.

PageRank. A pontuação de páginas é o autovetor dominante da matriz de transição da web. O método da potência converge à distribuição estacionária, e a taxa de convergência é dada pela razão entre o segundo e o primeiro autovalor.

Agrupamento espectral. Os autovetores do laplaciano do grafo revelam estrutura de comunidades. O número de autovalores nulos conta os componentes conexos.

Estabilidade. Num sistema dinâmico $x_{k+1} = Ax_k$, a trajetória converge se e somente se todos os autovalores têm módulo menor que 1. O mesmo critério governa a estabilidade de esquemas numéricos.

Vibrações e gráficos. Modos naturais de deformação de uma malha são autovetores do operador laplaciano discreto.

Erros comuns

• Calcular autovalores por raízes do polinômio característico. Numericamente instável.
• Usar eig em matriz simétrica em vez de eigh.
• Supor que toda matriz é diagonalizável.
• Esperar autovalores reais de matriz não simétrica. Rotações têm autovalores complexos.
• Ignorar a normalização. Autovetores são definidos a menos de escala, e o sinal devolvido pela biblioteca é arbitrário.

Leituras recomendadas

• Strang, capítulo 6 — autovalores com muitas aplicações trabalhadas.
• Axler, capítulos 5 e 7 — a abordagem sem determinantes, que esclarece por que o teorema espectral é verdadeiro.
• Trefethen e Bau, lições 24 a 30 — algoritmos de autovalores e por que a iteração QR funciona.
• Artigo original do PageRank (Page e Brin) — o método da potência aplicado em escala.

Gilbert Strang (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press. ISBN 9780980232776. Sheldon Axler (2015). Linear Algebra Done Right. Springer. DOI: 10.1007/978-3-319-11080-6. Lloyd N. Trefethen and David Bau III (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM. DOI: 10.1137/1.9780898719574.

Referências

1. Gilbert Strang (2016). Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press.
2. Sheldon Axler (2015). Linear Algebra Done Right. Springer.
3. Lloyd N. Trefethen; David Bau III (1997). Numerical Linear Algebra. SIAM.